似乎一切都在经理的掌控之中。但是,假设一艘飞船有某种技术,使得实数轴的连续统[1](continuum)上的每一点都对应一位乘客,那么即便是经理也无能为力。每个小数一个人的话,希尔伯特旅馆就会彻底挤爆。在下一小节我们就会知道原因。
康托尔的比较法
当你第一次思考这些问题的时候,它们可能会让你大吃一惊。不过,有一点并不难接受,无限集合的性质在某些方面或许与有限集合不太一样,其中一例便是它们与自身的某些子集有同样的大小。在19世纪,格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845——1918)比我们走得远得多。他发现并非所有无限集合都拥有同样多的元素。这个发现出人意料,不过你一旦注意到它,就不难体会其中的含义。
康托尔要我们考虑以下这个问题。假设我们有一张无限长的数表L,里面有数a1,a2,…,可以把它们看作以小数形式给出的,那么可以写下一个在L中从未出现过的数a。我们只需要让a的小数点后第一位与a1的小数点后第一位不同,小数点后第二位与a2的小数点后第二位不同,小数点后第三位与a3的小数点后第三位不同,以此类推。这样,我们就构造出了数a,它与列表中任意一个数都不同。这个结论导致了一个直接后果,那便是数表L绝对不可能包含所有的数,因为L中缺失了数a。由此可知,全体实数的集合,即所有的小数展开式,不能被写在一个列表里。换句话说,实数集与自然数不能像图8里那样建立起一一对应的关系。这条推理链被称为康托尔对角线论证法(Cantor’s diagonal argument)。为了构造集合L外面的数a,我们想象了L的小数列表形式(如图9),并用这个阵列的对角线定义了a。